Lietuvos istorijos institutas. Miestų praeitis, 3

 

Kęstutis Mažeika

Fizikos institutas

 

Skysčių su laisvu paviršiumi hidrodinamikos pagrindiniai principai

 

Archeologinių indų hidrodinaminių savybių vertinimas iš esmės gali būti atliekamas tiktai nustatant skysčio judėjimo šiuose induose ypatumus. Jeigu mums svarbu, kaip indo forma veikia skysčio išsitaškymą, pagrindinis dėmesys turi būti skiriamas skysčio induose laisvo paviršiaus kitimui ir kaip tai priklauso nuo indo formos. Jeigu svarbūs yra skysčio iš indų išpilstymo funkciniai ypatumai, gali būti naudinga nagrinėti ir sroves skysčio paviršiniame sluoksnyje. Bendruoju atveju buitinių archeologinių indų hidrodinaminės ypatybės buvo tiriamos, remiantis bendrais skysčių judėjimo teorijos (hidrodinamikos) principais, skysčių su laisvu paviršiumi judėjimo ir bangų teorijomis. Svarbiausia šiuo atveju yra skysčių su laisvu paviršiumi hidrodinamika. Pagrindiniais hidrodinamikos dėsniais, nuo kurių pradedamas panaudotų metodų aptarimas, remiasi kitos supaprastintos hidrodinamikos teorijos ir skaitmeninis modeliavimas. Po to šiame skyriuje bus apžvelgti kai kurie bangų skysčio paviršiuje teorijos elementai ir skaitmeninio modeliavimo metodika, kadangi Navje-Stokso lygčių skaitmenis modeliavimas buvo pagrindinis taikytas tyrimo metodas.

 

1.1 Pagrindinės hidrodinamikos lygtys

 

Skysčio judėjimo (hidrodinamikos) lygtys gaunamos prilyginant išorines jėgas, veikiančias skysčio vienetinį tūrį, inercijos jėgoms. Jeigu turėtume idealų arba neklampų skystį, tai jo judėjimą aprašytų Eilerio lygtys [1]. Trimačiu atveju turime trijų lygčių sistemą, po vieną lygtį kiekvienai dimensijai. Eilerio lygčių narių pavadinimai (inercinės jėgos kairėje, išorinės dešinėje) pažymėtos žemiau lygčių,

                                    (1)

kur u, v, w yra skysčio dalelės greičio V komponentės x, y, z ašių kryptimi (z ašis vertikali ir nukreipta prieš sunkio jėgos kryptį), r – skysčio tankis, p – slėgis, g – sunkio jėgos pagreitis, t – laikas. Kadangi realūs skysčiai yra klampūs, pilname skysčio elemento judėjimo aprašyme turi būti įskaitoma ir vidinė skysčio trintis. Pridėdami trinties jėgas prie išorinių jėgų (dešinėje), vietoj Eilerio gauname Navje-Stokso lygtis:

                  (2)

Navje-Stokso lygčių kairė pusė, tapati Eilerio lygčių kairei pusei, užrašyta kiek kitokia forma, suskirstant konvekcinę inerciją į kylančią dėl kinetinės energijos pokyčio ir dėl sūkuringumo. m yra dinaminis klampumas, o h, x ir z yra sūkurio vektoriaus komponentės:

                           ( 3)

Labai dažnai praktikoje naudojamos supaprastintos lygtys. Jeigu skystį galima laikyti idealiu, t. y. klampumo įtaka maža, skysčio judėjimas stacionarus (nekintantis laike) ir kai galima nepaisyti sūkuringumo, vietoj Navje-Stokso lygčių galima naudoti Bernulio lygtį

                                                                                 (4)

arba

                                                                                (5)

Dar paprastesnį atvejį turime hidrostatikoje. Kadangi skystis nejuda,

.                                                                                            (6)

Sprendžiant hidrodinamikos lygtis (1), (2), be  trijų greičio komponenčių u, v, w, turime surasti slėgį p. Kadangi naudojant tris lygtis, Navje-Stokso ar analogiškas joms,  galima rasti tik tris nežinomus dydžius, reikalinga dar viena lygtis. Ją gauname iš masės tvermės dėsnio

                                                                                 (7)

Hidrodinamikoje, kadangi skystis praktiškai yra nespūdus, skysčio tankis pastovus,  ir . Todėl masės tvermės dėsnis skysčiams gerokai paprastesnis.

                                                                                (8)

 

1.2. Bangos vandens paviršiuje

 

Nestacionarus vandens su laisvu paviršiumi judėjimas veikiant gravitacijai vadinamas gravitacinėmis bangomis vandens paviršiuje. Tokių gravitacinių bangų įvairovė be galo didelė. Tai bangos, sukeltos vėjo, potvynio bangos, laivų sukeltos bangos, cunamio ir t.t. Akivaizdu, kad dėl didelio vandens judėjimo bangose sudėtingumo ir įvairumo bendro hidrodinamikos lygčių sprendinio gravitacinėms bangoms vandens paviršiuje neegzistuoja. Net nesudėtingais atvejais reikalinga netiesinių su dalinėms išvestinėms, Eilerio arba Navje-Stokso lygčių (1,2) aproksimacija. Priklausomai nuo sprendžiamo uždavinio ypatybių taikomi skirtingi šių lygčių aproksimacijos metodai. Todėl šiais metodais gautos supaprastintos lygtys turi savo taikymo ribas, kurias visada būtina žinoti taikant jas praktikoje.

 

Nors gamtoje gryno dvimačio judėjimo nėra, dažniausiai teoriškai ar skaitmeninio modeliavimo būdu nagrinėjamas būtent dvimatis atvejis, kaip gerokai paprastesnis, palyginti su trimačiu, bet pakankamai tiksliai atspindintis realius procesus. Dvimatis vandens judėjimas (bangavimas) būtų artimas judėjimui (bangavimui) kanale su lygiagrečiomis sienomis lygiagrečia joms kryptimi.

 

Grubiai pagal judėjimo pobūdį bangos vandens paviršiuje gali būti suskirstytos į du tipus. Tai svyruojančios (osciliuojančios) bangos ir masės pernešimo bangos. Svyruojančio (osciliuojančio) pobūdžio bangose nėra pastovaus vandens masės pernešimo, t. y. vidutinis masės pernešimas kuria nors kryptimi lygus nuliui. Skirtingai negu svyruojančio pobūdžio bangose pernešimo bangose egzistuoja vandens masės pernaša. Geriausi pernešimo bangų pavyzdžiai yra potvynio bangos pakrantėje arba bangos sugriuvus užtvankai. Buitiniuose induose, pripildytuose vandens, susidarančios bangos, priklausomai nuo indų formos gali turėti abiejų bangų tipų savybių.

 

Kaip jau minėjome, bendro Navje-Stokso lygčių sprendinio neegzistuoja, todėl daroma daug šių lygčių aproksimacijų, kurių pobūdis priklauso nuo lokalios ir konvencinės inercijos narių santykinio dydžio. Kokio tipo aproksimacijos yra tinkamos panaudoti, priklauso nuo trijų dydžių: bangos aukščio H, bangos ilgio L ir vandens gylio d tarpusavio santykių (H/L, H/d ir L/d). Priklausomai nuo šių santykių dydžio gali būti panaudojami įvairūs matematiniai metodai: lygčių ištiesinimas, skleidimas laipsninėms funkcijoms, skaitmeniniai metodai. Sprendžiamos lygtys gali būti supaprastintos iki tiesinio pavidalo, jeigu santykiai H/L, H/d ir L/d yra maži. Tokiu atveju galima nepaisyti konvencinės inercijos narių ir labai palengvėja lygčių sprendimas.

 

Jeigu parametras  yra labai mažas, gali būti pritaikyta mažų amplitudžių bangų teorija, įgalinanti gauti paprastas analitines bangų išraiškas ir paprastus bangų parametrų sąryšius. Jeigu H/d ir L/d  yra dideli, naudojami skaitmeniniai metodai, nes tokiu atveju netiesiniai (konvenciniai) Navje-Stokso (2) lygčių nariai yra dideli.

 

Vandens paviršiaus bangavimui buitiniuose arba archeologiniuose induose priklausomai nuo jų matmenų charakteringi dydžių santykiai H/L = 0–0.5, H/d = 0–0.5, L/d = 0.5–4, o  = 0–32, todėl tiesinių aproksimacijos metodų taikymas yra ribotas.

 

Nagrinėjant indų savybes, svarbias skysčių išpilstymo metu, gali būti pritaikyta ir labai ilgų bangų teorija, taikoma vandens pernašai, potvynio bangoms kanaluose tirti.

 

1.3. Mažų amplitudžių bangų teorija

 

Mažų amplitudžių bangų teorijoje daromos tokios prielaidos: skystis neklampus, judėjimas nesūkuringas. Tokiu atveju skysčio judėjimą aprašo Bernulio lygtis (4,5). Sprendžiant diferencialines lygtis su dalininėmis išvestinėmis, tai, kokį sprendinį gausime, dideliu mastu apsprendžia panaudotos kraštinės sąlygos. Mažų amplitudžių bangų teorijoje laikoma, kad bangos amplitudė yra labai maža. Vadinasi, kraštinė sąlyga laisvame paviršiuje yra labai paprasta, paviršiaus padėtis yra žinoma.

 

Dvimačiu skysčio judėjimo atveju Bernulio lygties sprendimas leidžia gauti gana paprastas analitines skysčio judėjimo bangoje lygtis, pvz., greičio komponentės horizontali u ir vertikali w yra

                                                                (9)

kur a yra bangos amplitudė, d – vandens gylis,  (T – bangos svyravimo periodas), o  ( L – bangos ilgis). Kadangi bangas patogu charakterizuoti bangos ilgiu L, bangos sklidimo greičiu c, periodu T, yra svarbūs šių parametrų tarpusavio sąryšiai. Iš mažų amplitudžių teorijos seka, kad

                                                                                (10)

o

                                                                                    (11)

Ribiniais atvejais, seklaus arba gilaus vandens, šie sąryšiai dar paprastesni. Jeigu vanduo seklus (d/L mažas), bangos sklidimo greitis priklauso tik nuo vandens gylio , o bangos ilgis proporcingas bangos periodui . Priešingu atveju, jeigu vanduo gilus, bangos sklidimo greitis proporcingas periodui , o bangos ilgis periodo kvadratui .

Skysčio dalelių judėjimas mažų amplitudžių bangoje elipsinis, jų trajektorija aprašoma formule

                                                                             (12)

kur x0 ir z0 yra elipsės centro koordinatės. Elipsės pusašės

                                         (13)

Iš šių formulių seka, kad didžiausia dalelių judėjimo amplitudė paviršiuje, mažiausia prie dugno.

 

Praktikoje dažnai yra stebimas bangos amplitudės kitimas bangai judant iš gilesnės vietos į seklesnę, pvz., bangos jūros pakrantėje. Kokiomis sąlygomis ir kokio pobūdžio yra šis pokytis? Mažų amplitudžių metodas įgalina įvertinti tokią bangos amplitudės H priklausomybę nuo gylio d, pasiremiant bangos energijos srauto tolydumu bangai sklindant iš gilios vietos link seklumos

                                                              (14)      

 

kur H0 yra bangos ilgis gilioje vietoje. Kadangi m priklauso nuo bangos ilgio L, priklausomybę bangos aukščio H nuo vandens gylio d galime gauti pasinaudodami sąryšiu , kur  yra bangos ilgis giliame vandenyje.  

 

1.4 Kitos teorijos

 

Ilgų bangų teorija taikoma, jeigu bangos ilgis daug didesnis negu vandens gylis. Tokiu atveju vertikalaus vandens judėjimo pagreičio galima neįskaityti, o slėgis bus hidrostatinis, išreiškiamas formule . Kadangi šiuo atveju bangos amplitudė nėra labai maža, iš anksto paviršiaus padėtis nėra žinoma, tai labai apsunkina sprendžiamą uždavinį. Ilgų bangų teorija gali būti taikoma tais atvejais, kai egzistuoja skysčio pernaša, pvz., nagrinėjant skysčio išpylimą iš indo. Jeigu svarbu charakterizuoti indo savybes skysčio pilstymo požiūriu, gali būti panaudota ir atvirų kanalų hidrodinamika, kuri savo teorijos elementais yra glaudžiai susijusi su ilgų bangų teorija. Kai kuriuos atvirų kanalų hidrodinamikos elementus pateiksime žemiau. Detaliau nagrinėjant ilgų bangų teoriją ir kanalų hidrodinamiką reiktų specialiai nagrinėti diferencialinių lygčių sprendimo metodus.

 

Jeigu kanalo polinkio kampas α yra mažas, o vandens storis kanale h yra pastovus, tai efektyvus vandens tekėjimo greitis kanale

                                                                                        (15)

kur Ch yra Šezi koeficientas, RH – hidraulinis radiusas (, kur S – tėkmės skerspjūvio plotas, P – sąlyčio perimetras). Šezi koeficientą galima surasti pagal Maningo formulę

                                                                                                 (16)

Maningo koeficientas n priklauso nuo paviršiaus šiurkštumo ir praktikoje kinta nuo 0,01 iki 0,03. Remiantis (15) galime surasti vandens debetą kanale .

 

Vandens tekėjimas kanaluose yra charakterizuojamas kritiniu aukščiu (vandens sluoksnio storiu) hc, atitinkančiu tekėjimo energijos minimumą. Tą patį debetą Q atitinka dvi skirtingos vandens aukščio kanale reikšmės, realizuojamos esant skirtingiems kanalo polinkio kampams. Jeigu realus vandens aukštis h yra didesnis už kritinį hk, tai tekėjimas ikikritinis, lėtas. Jeigu vandens aukštis mažesnis už kritinį, tekėjimas virškritinis, greitas. Kritinį vandens aukštį hatitinka kritinis kanalo polinkio kampas αk. Jeigu polinkio kampas didesnis už kritinį α> αk, tai h< hk, o tėkmės greitis , o jei α <αk, tai h> hk, ir . Šių dydžių santykis apsprendžia ir ilgų bangų teorijos pagrindinių lygčių sprendinio formas. Dėl gana didelio ilgų bangų teorijos sudėtingumo ir riboto panaudojimo šiame darbe, pateiksime tik pagrindinę lygtį

                                                           (17)

Tai Barre de Sen-Venano lygtis, taikoma nagrinėjant nestacionarų judėjimą kanaluose, upėse ir panašiai. Ilgų bangų teorijos lygtys sprendžiamos dažniausiai skaitmeniniais metodais (charakteristikų metodas ir kt.).

 

Kadangi realus bangavimas yra sudėtingas procesas, į kurį galima žiūrėti kaip į daugelio bangų (harmoninių) sumą, bangų analizei taikomi ir statistiniai, Furje analizės metodai.

 

1.5 Skaitmeniniai metodai

 

Besivystant skaičiavimo technikai vis didesnę reikšmę turi skaitmeninių metodų panaudojimas hidrodinamikoje. Jo esmę sudaro išvestinių diferencialinėse lygtyse pakeitimas baigtiniais skirtumais ir sprendinio suradimas skaitmeniniu pavidalu. Tai nėra taip patogu kaip uždavinio sprendinys analitinių funkcijų pavidalu mažų amplitudžių bangų teorijoje, bet leidžia spręsti daug sudėtingesnes lygtis, labiau atitinkančias realiai vykstančius procesus.

 

Skaitmeniniai metodai taikomi ir aproksimuotų lygčių, pavyzdžiui, (17) lygtis, sprendimui. Vis dėlto, kadangi šiame darbe buitinių (archeologinių) indų hidrodinaminės savybės, vandens paviršiaus bangavimo ypatumai tirti daugiausia remiantis neaproksimuotų Navje-Stokso lygčių (2) sprendimo rezultatais, pagrindinį dėmesį skirsime šių lygčių sprendimo metodui. Skaitmeninis pagrindinių hidrodinamikos lygčių (Navje-Stokso) sprendimas, kaip bangavimo buitiniuose induose tyrimo metodas, pasirinktas dėl specifinių užduočių ir riboto aukščiau aptartų supaprastintų bangų teorijų tinkamumo. Pavyzdžiui, tiriant bangavimą buitiniuose induose, svarbu įvertinti susidarančios bangos amplitudę, gauti jos laikines priklausomybes. Akivaizdu, kad tokiam tikslui netinka mažų amplitudžių teorija.

 

Vis dėlto, nors skaitmeninis modeliavimas yra pagrindinis tyrimo metodas, jo rezultatai gali būti gretinami su mažų amplitudžių teorijos, Bernulio lygties sprendimo išvadomis. Kitų metodų panaudojimas yra svarbus, nes jis leidžia geriau suprasti gaunamą rezultatą, jį paaiškinti.

 

Kadangi modeliuojant vandens judėjimą buitiniuose induose gauti rezultatai yra lengvai atvaizduojami grafiškai, netrūksta vaizdumo, o tokį modeliavimą galima vadinti ir skaitmeniniu eksperimentu, kai užduodamas pradinės indo judėjimo sąlygos ir yra grafiškai sekamas vandens judėjimas. Lyginant su fiziniu eksperimentu šis metodas turi savų privalumų, nes leidžia lengviau keisti užduodamas pradines judėjimo sąlygas. Vis dėlto dėl Navje-Stokso lygčių ypatingo sudėtingumo ir dėl to, kad sprendinio tikslumą apsprendžia skaičiavimo technikos galimybės, skaitmeninis modeliavimas turi savo taikymo ribas. Ne visoms pradinėms sąlygoms ir skaičiavimo parametrams esant galima gauti stabilų Navje-Stokso lygčių sprendinį. Tai, kokį šių lygčių sprendinį gausime, labai priklauso nuo specifinių kiekvienam uždaviniui kraštinių sąlygų. Bendru požiūriu Navje-Stokso lygtis ir jų sprendinio elgesį charakterizuoja Reinoldso parametras

                                                                                                   (18)

kur  – charakteringas uždavinio greitis,  – charakteringas ilgis,  – kinematinis klampumas (dinaminis klampumas ). Reinoldso parametras charakterizuoja inercinių jėgų santykį su klampumo (trinties) jėgomis. Modeliuojant vandens judėjimą buitiniuose induose Reinoldso parametras gali būti gana didelis Re>>1, vadinasi, tokiu atveju konvekciniai nariai dominuoja, o klampios difuzijos įtaka maža. Kuo didesnis Reinoldso parametras, tuo didesnė yra tikimybė judėjimo nestabilumui, turbulencijai atsirasti. Kai dėl kurių nors sąlygų susidaro pakankamai didelis judėjimo nuokrypis, jis gali pradėti eksponentiškai augti (sprendžiant šias lygtis skaitmeniškai, baigtinių skirtumų metodais). Tuo tarpu mažesnius nuokrypius gesina klampumo jėgos. Vis dėlto skaitmeninis Navje-Stokso lygčių modeliavimas taikytas sėkmingai, nors jo tikslumą labai veikė skaičiavimo technikos galimybės, ypač nagrinėjant ilgesnius procesus, kadangi pradiniai maži nuokrypiai (paklaidos) ilgainiui gali labai išaugti.

 

Vandens judėjimo arba bangavimo modeliavimui buitiniuose induose panaudotos dvimatės Navje-Stokso lygtys

                                                   (19)

Slėgis p buvo surandamas sprendžiant Puasono lygtį slėgiui,

                                             (20)

kuri gauta diferencijuojant Navje-Stokso lygtis (19), sudedant jas ir atsižvelgiant į masės tvermės dėsnį (8). Nors greičio divergencija  realiai turėtų būti lygi nuliui, ji įvesta į lygtį tam, kad būtų atsižvelgta į kiekvienoje skaičiavimo iteracijoje atsirandančias paklaidas dėl riboto padalinimo, aproksimacijos tikslumo.

Sprendžiant (19), (20) lygtis jose esančios išvestinės keičiamos atitinkamų dydžių baigtinių skirtumų santykiu. Navje-Stokso lygčių sprendimui reikalingos pradinės sąlygos, greičio, slėgio reikšmės pradiniu laiko momentu (t = 0), o po to greitis kiekvienu nauju laiko momentu surandamas iteraciniu būdu. Tam tikslui reikalingas slėgis apskaičiuojamas sprendžiant Puasono lygtį (20). Jos sprendimui yra būtinos kraštinės sąlygos (greičio, slėgio arba jų išvestinių reikšmės) prie sienelių, dugne ir paviršiuje. Dauguma iš jų gaunamos iš skysčio prilipimo prie sienelės sąlygos. Ši sąlyga reiškia, kad vandens prie sienelės greitis sutampa su sienelės judėjimo greičiu. Paviršiuje slėgis lygus atmosferiniam. Vidiniuose taškuose slėgis surastas viršutinės relaksacijos metodu. Šio metodo privalumas yra jo panaudojimo patogumas bet kokios formos indams. Relaksacijos metodo esmę sudaro iteracinis procesas, pradedamas viršutiniame taške palaipsniui pereinant visus gardelės taškus, į kurią suskirstytas tiriamas tūris, pagal formulę

                                      (21 )

kur indeksas k žymi iteraciją, o i ir j erdvinio sudalinimo narvelius, , o  parenkamas parametras didesnis už 1 ir mažesnis už 2, užtikrinantis greičiausią iteracinio sprendimo proceso greitį.

                                                                                                                     

Vandens paviršiaus padėtis skysčio bangavimo proceso metu nustatoma žymių metodu, kurio esmė yra vandens dalelių trajektorijos, o kartu ir paviršiaus padėties apskaičiavimas kiekvienoje iteracijoje. Pradiniu momentu t = 0  visi greičiai lygūs nuliui, o paviršius lygus. Prasidėjus skaičiavimui indo sienelių greitis užduodamas pagal modeliuojamą indo judesį.

 

Skaičiavimo rezultato tikslumas priklausys nuo to, kaip smulkiai padalinamas tiriamas tūris, bet padalinimo skaičius N yra apribotas išaugančios skaičiavimo apimties, proporcingai N3. Navje-Stokso lygčių ir Puasono lygties sprendimui (viršutinės relaksacijos metodu, pasirinkus optimalų ω) kiekvienoje laikinėje iteracijoje reikalinga skaičiavimo apimtis ir trukmė yra proporcinga N2, narvelių skaičiui dvimačiu atveju. Iteracijų laike skaičių savo ruožtu lemia maksimalus laikinio intervalo žingsnis, atvirkščiai proporcingas N. Kadangi iteracijos trukmė

                                                                                  (22)

priklauso ne tik nuo narvelio matmenų, atvirkščiai proporcingų N,  bet ir nuo maksimalaus greičio, kuriuo juda vandens dalelės Vmax, iteracijų skaičius priklausys ir nuo konkretaus uždavinio. Apribojimas iteracijos žingsniui (22) seka iš sprendinio stabilumo sąlygos, kuri reikalauja, kad vandens dalelės nueitas kelias per laikinės iteracijos žingsnį neviršytų narvelio matmenų.

 

Santykinai grubus sudalinimas gali būti pakankamas, jei skaičiavimai yra lyginamieji, ypač jei nereikia tiksliai numatyti procesų ilgesniam laikui. Kai tiriama vandens judėjimo ar bangavimo priklausomybė nuo kokio nors vieno parametro ir yra lyginami skaičiavimai tam, kad išvengtume papildomos įtakos, visada imamas pastovus N. Atliekant tokius skaičiavimus, ir kiti parametrai, kraštinės sąlygos taip pat turi būti vienodi. Pasirinktame N intervale (N = 40 ir N = 80) atliktas vandens bangavimo stačių sienelių inde modeliavimas parodė, kad bangavimo pobūdis mažai priklauso nuo padalinimo grubumo (1.1 pav.).

 

1.1 pav. Skaitmeninio modeliavimo rezultatų palyginimas, kai tiriamos srities padalinimo grubumas skirtingas

 

2. Indų hidrodinaminių savybių įvertinimas skaitmeninio modeliavimo metodu

 

Skaitmeninio modeliavimo metodas buvo taikomas, siekiant įvertinti archeologinių indų hidrodinamines savybes. Kadangi šie indai buvo naudojami buityje, svarbiausios yra praktinės jų savybės. Šiame darbe daugiausia dėmesio buvo skiriama paviršiaus padėties kitimui ir skysčio bangavimo ypatybėms. Prieš imant vertinti realių archeologinių indų, kurių formos yra sudėtingos, hidrodinamines savybes, buvo sprendžiami kiek galima paprastesnių formų indų skaitmeninio modeliavimo uždaviniai. Tai leido surasti priklausomybes nuo elementarių indo formą nusakančių parametrų ir vėliau jas panaudoti, aiškinant sudėtingos formos indų savybes.

 

2.1. Indų hidrodinaminių savybių įvertinimo metodika

Buitinių indų judėjimas, pavyzdžiui, juos pernešant arba jiems patiriant įvairų išorinių jėgų poveikį, yra netolygus. Tokiu atveju dėl indo sienelių judėjimo netolygumo ir skysčio inercijos atsiranda ir skysčio judėjimo netolygumų, paviršiaus bangavimo. Akivaizdu, kad praktikoje netolygaus indų judėjimo pagreitis gali būti labai įvairios trukmės, įvairaus intensyvumo ir krypties. Jis gali būti horizontalus ir vertikalus. Vertikali pagreičio komponentė, jeigu ji yra homogeniška, nesukelia bangų, todėl svarbus tik horizontalus pagreitis. Kadangi gana sunku yra įvertinti amplitudinį – dažninį indų patiriamų poveikių spektrą iškeltam tikslui, įvairių indų formų hidrodinaminėms savybėms palyginti pakako vieno charakteringo poveikio tipo. Visiems skaitinio modeliavimo uždaviniams panaudota vienoda simetriška poveikio forma, kai pastovus pagreitis palaikomas iki Tmax = 0.1 s, po to pagreitis keičiamas į priešingą, o indo sienelių horizontalus greitis kinta pagal dėsnį, parodytą 2.1 pav. Impulso trukmė (T = 2 Tmax) parinkta kaip gerai charakterizuojanti realias sąlygas. Pavyzdžiui, smūgio į indo sienelę trukmė gali būti panašios eilės dydis. Kadangi bangavimas iškart nesustoja, jį, bent jau apytiksliai, galima būtų išreikšti daugelio tokių elementarių poveikių sukeltų bangų suma.

 

Skaitinio modeliavimo rezultatų analizė parodė, kad nuo impulso trukmės priklauso atsako į poveikį nusistovėjimas, o nuo poveikio (pagreičio, jėgos) stiprumo – susidarančios bangos aukštis. Tai galima paaiškinti remiantis elementariais hidrodinamikos dėsniais, Laikant, kad slėgis yra hidrostatinis, t. y. jei Bernulio lygtyje (6) nepaisoma nuo greičio priklausančio nario, gauname, kad

                                                                                  (22)

kur z0 – paviršiaus padėtis. Paviršiaus padėtis bus stabili, jeigu visos veikiančios jėgos yra kompensuotos, t. y. kai skystis dėl slėgio skirtumų judės tokiu pat pagreičiu a kaip ir indo sienelės. Diferencijuodami slėgį p (22) lygtyje pagal x ir prilyginę išorinei jėgai gauname stabilaus paviršiaus nuokrypio sąlygą

 arba                                                         (23)

kuri realizuotųsi labai mažo poveikio pagreičio a atveju.

 

Modeliuojant bangos susidarymą tiesių sienelių inde yra gaunama tiesinė bangos aukščio H priklausomybė nuo pagreičio (2.2 pav.) pirmam priverstiniam (dėl išorinio poveikio) bangavimo maksimumui (2.3 pav.). Bangos aukštis H kiekvienoje iteracijoje buvo apskaičiuojamas kaip maksimalios ir vidutinės paviršiaus padėties skirtumas. Taigi H yra maksimalus bangos aukštis duotuoju laiko momentu. Laikui bėgant bangos aukštis kito, susidarant jo maksimumams dėl bangos judėjimo tarp skirtingų indo sienelių (2.4, 2.5 ir 2.6 pav.) . 2.2 pav. taip pat yra nurodytos bangos aukščio reikšmės ir kitiems maksimumams. Šiek tiek netiesinė bangos amplitudės priklausomybė vėlesniems maksimumams galėjo atsirasti dėl netiesinių efektų, o galbūt ir dėl besikaupiančių skaičiavimo paklaidų. 

 

2.1 pav. Greičio, kuriuo judinamas indas, priklausomybės forma

 

2.2 pav. Maksimalaus paviršiaus atsilenkimo (bangos aukščio) priklausomybės skirtingiems maksimumams nuo pagreičio a dydžio Tmax = 0,1  s trukmės impulsui

 


2.3 pav. Maksimalios ir minimalios paviršiaus padėties priklausomybės nuo laiko: a) plačiame laiko intervale (svyravimo mušimai ir nusistovėjimo eiga), paveikus pagreičio  ir trukmės T = 2 Tmax = 0.2 s impulsui, b) pradiniame laiko intervale, paveikus skirtingo stiprio jėgos impulsais (pagreitis atitinkamai , , ir ). Indas stačių sienelių, indo skersmuo 20 cm, vandens gylis 15 cm 

 

2.4 pav. Vandens paviršiaus padėtis statmenų sienelių inde skirtingais laiko momentais

 

2.5 pav. Vandens paviršiaus padėtis platėjančiame inde skirtingais laiko momentais

 

2.6 pav. Vandens paviršiaus padėtis siaurėjančiame inde skirtingais laiko momentais

 

Kaip galima spręsti iš Navje-Stokso narių analizės (didelis Reinoldso parametras), didžiausią įtaką vandens paviršiaus svyravimų pobūdžiui turi inercinės konvencinės jėgos, o su vandens klampumo ir su ja susijusios trinties sąlygotas vandens svyravimų gesimas yra gana lėtas (2.3 a pav.). Pradiniu laiko momentu judėjimui suteikiamas pradinis impulsas ir sukuriama banga, kuri vėliau sklinda pagal bangos sklidimo dėsnius. Pradinės bangos aukštis arba amplitudė, kaip minėta, priklauso ne tik nuo žadinančio jėgos impulso stiprumo (2.1 ir 2.3 b pav.), bet ir nuo indo matmenų, jo formos. Priklausomybę nuo indo skersmens gana lengva pademonstruoti (23) lygtimi.

Išvestinę (23) lygties kairėje pakeitę baigtiniais skirtumais, gauname, kad bangos aukštis

                                                                                                     (24)

Skaitmeninio modeliavimo rezultatai 2.7 pav. yra lyginami su (24) priklausomybe. Gauta, kad bangos amplitudė didėja, didėjant indo skersmeniui, nors eksperimentinė priklausomybė nėra tiesinė. Stebimus skirtumus tarp skaitmeninio modeliavimo rezultatų ir (24) formulės lemia pirmiausia tai, kad išvedant (24) lygtį neatsižvelgta į nepusiausviras bangos susidarymo sąlygas. Bangos susidarymo dinamikai turi įtakos vandens inercija, o taip pat nepusiausvira momentinė paviršiaus forma (2.8 pav.). Taigi (24) formulė tiktai iliustruoja, kokia galėtų būti pusiausvira vandens paviršiaus padėtis inde, jeigu nebūtų inercijos, o paviršiaus kreivumas būtų pastovus.

 

Iš mažų amplitudžių teorijos seka, kad bangos parametrai – greitis, ilgis, periodas – priklauso nuo vandens gylio. Todėl galima tikėtis, kad vandens lygis inde veiks ir bangos amplitudę. Tai taip pat svarbu, vertinant indų formos įtaką. Mažų amplitudžių teorijos išvados teigia, kad labai seklioje vietoje bangos amplitudė gali išaugti. Bangos amplitudės priklausomybę nusako (14) formulė, kuria remiantis apskaičiuotas santykinis bangos aukščio kitimas dviems bangos ilgiams (0.2 ir 0.6 m) (2.9 pav.). Matyti, kad iš pradžių amplitudė mažėjant gyliui šiek tiek sumažėja, tai patvirtina skaitmeninio modeliavimo rezultatai (2.10 pav.), o žymesnis amplitudės padidėjimas turėtų būti stebimas tik esant vandens gyliui mažesniam už 1–2 cm.

 

2.7 pav. a) žadinamos bangos aukščio H priklausomybė nuo indo skersmens L, b) skirtingų matmenų indų maksimalus ir minimalus paviršiaus nuokrypis

 

 

2.8 pav. Vandens paviršiaus forma laiko momentu t = 0.1 s įvairaus skersmens L induose

 

2.9 pav. Santykinės bangos amplitudės priklausomybė nuo vandens gylio pagal mažų amplitudžių bangų teoriją, bangai judant iš gilios vietos link seklumos, kai bangos ilgis L0

 

 

2.10 pav. Bangos amplitudės priklausomybė nuo vandens gylio trims pirmiems bangos maksimumams 20 cm skersmens inde

 

2.11 pav. Vandens dalelių judėjimo trajektorijos statmenų sienų inde skirtingais momentais (Brūkšnelio ilgis proporcingas greičiui.)

 

Skaitmeninio modeliavimo metodas taip pat suteikia galimybę sekti vandens dalelių trajektorijas, nustatyti jų judėjimo greičius. Tokio tipo vaizdinė informacija (2.11 pav.) naudinga analizuojant bangos amplitudės priklausomybes, kadangi leidžia detaliai įvertinti vandens judėjimo pobūdį konkrečiu laiko momentu.

 

Jei suskaidysime gana sudėtingos formos realias bangas į harmoninių (sinusoidinių) bangų sumą, joms galima būtų taikyti mažų amplitudžių bangų teorijos išvadas. Iš šios teorijos aišku, kad bangų vandens paviršiuje sklidimo greitis priklauso nuo bangos ilgio (10). Todėl paviršiaus sudėtingas kitimas ilgame laiko intervale (2.3 a pav.), stebimi maksimumų padidėjimai gali būti paaiškinti suminių bangų fazių skirtumų kitimu. Kadangi bangos susidaro suteikiant indui pagreitį, t. y. kai viena sienelė spaudžia vandenį, o kita tolsta, maksimalus bangos ilgis L yra dvigubas indo skersmuo. Faktiškai gali būti generuojamos bangos L ir 2L intervale. Tokiu atveju pagal mažų amplitudžių teoriją bangų periodas (21) d = 0,15 m gylio ir L = 0,2 m skersmens inde turėtų būti T = 0,5–0,6 s. Tai gana gerai sutampa su skaitmeninio modeliavimo rezultatais (2.2 pav.).

                                                                                                                     

2.2 Indų formos įtaka hidrodinaminėms jų savybėms

 

Archeologinių keramikinių indų formų įvairovė yra didelė, pradedant paprastos formos dubenimis (2.12 a pav.), baigiant sudėtingesnės formos puodais ir ąsočiais (2.12 b, c pav.). Naudojant skaitinio modeliavimo metodą galima palyginti vandens judėjimo pobūdį šiuose induose ir įvertinti kokybinius bangavimo skirtumus. Norint gauti tikslesnį atsakymą į klausimą, kokie formos elementai yra svarbiausi, reiktų gauti kiekybines formos ir bangavimo parametrų sąryšio charakteristikas.

 

Indų formai apibūdinti naudosime du elementarius parametrus: sienelių polinkio kampą

                                                                                         (25)

ir sienelės kreivumą

                                                                                                 (26)

Kadangi indų, pavaizduotų 2.12 pav., sienelių kreivumas ir polinkio kampas daugiau arba mažiau kinta, pilnai formos charakteristikai to nepakanka. Todėl bendruoju atveju minėtais parametrais galima charakterizuoti tik nedidelio sienelių segmento formą.

 

Atsižvelgiant į vandens dalelių judėjimą bangoje, bangos dalelių trajektorijos amplitudė didžiausia paviršiuje (13). Iš to galima spręsti, kad hidrodinaminėms indų savybėms svarbiausia yra indo segmento ties paviršiumi forma. Vis dėlto, kaip parodė skaitinio modeliavimo rezultatai (2.10 pav.), juntama ir indo dugno įtaka. Taip pat yra akivaizdu, kad bangavimo savybės, judančio vandens sąveika su sienelėmis priklauso ir nuo bangos amplitudės. Bangos aukštis prie sienelių apsprendžia viršutinio formos segmento, kuris dar turi įtakos, ribą. Kadangi reikia įvertinti praktines archeologinių buitinių indų savybes, tokias kaip vandens išsilaikymas inde jį pernešant arba skysčio išsipylimas (ir išpilstymas), t. y. tas savybes, kurios gali nulemti šių indų formos pasirinkimą, svarbiausi yra atvejai, kai bangos ir viso skysčio judėjimo joje amplitudės yra didelės. Tokiu atveju įtakos bangavimui, skysčio judėjimui gali turėti visa indo forma. Archeologinių indų, kurių forma yra sudėtinga, bangavimo ypatumai, priklausomai nuo bangos amplitudės, yra įvairios formos segmentų įtakos padarinys. Kadangi skaitmeninio modeliavimo rezultatų analizė tokiu atveju gali būti sudėtinga, prieš jos imantis, analizuoti supaprastintos formos indai, besiskiriantys tik sienelių polinkiu ar kreivumu (2.13 pav.). Ir šiuo atveju turime atsižvelgti į daugelio galimų veiksnių įtaką: vandens tūrio skirtumus, sąveiką su sienelėmis, įskaitant ribinio sluoksnio sukibimą, paviršiaus plotą ir t.t. Visais atvejais imta, kad vandens induose pripilta iki pusės (vandens gylis d = 0,15 m), o indų skersmuo ties laisvu paviršiumi buvo pastovus L = 0,2 m.

 

Indų formos įtaka atsispindi paviršiaus bangavime (2.4, 2.5 ir 2.6 pav.). Iš jo pobūdžio galima spręsti apie bendrus bangavimo skirtumus platėjančiuose ir siaurėjančiuose induose. Detaliai kiekybinei hidrodinaminių savybių charakteristikai panaudotas lengvai apskaičiuojamas hidrodinaminis parametras, bangos amplitudės aukštis H.

 

2.12 pav. Archeologinių indų formų pavyzdžiai: a) dubenys, b) puodai, c) ąsočiai

 

2.13 pav. Indų formos, panaudotos bangavimo priklausomybei nuo indo formos modeliuoti, besiskiriančios: a) sienelių polinkiu, b) sienelių kreivumu

 

Indų hidrodinaminėms savybėms įvertinti buvo paimti keturi pirmieji bangos maksimumai 0–1 s laiko intervale (2.3 ir 2.14 pav.). Laikyta, kad šios maksimalios bangos aukščio vertės pakankamai gerai charakterizuoja svarbiausius bangavimo procesus ir kad indo formos įtaka pilnai atsispindi šiame laiko intervale. Modeliavimo rezultatai stačių sienelių indui ilgame laiko intervale (2.3 a pav.) rodo, kad iš pradžių bangavimo amplitudė didėja, o praėjus maždaug vienai sekundei pradeda palaipsniui mažėti. Realiuose trimačiuose induose bangavimas gali sustoti dar greičiau, nes indų patiriami poveikiai nėra lygiagretūs ir todėl labiau tikėtinas yra bangų slopinimas, o ne stiprinimas.

Skaitiniame modeliavime panaudotas diskretiškumas, suskirstymas į narvelius, sąlygoja tam tikras indo formos aprašymo paklaidas. Be to, kadangi sprendžiant Navje-Stokso lygtis kartu su Puasono lygtimi slėgiui (19, 20) paviršiuje taikomos kraštinės sąlygos, gali atsirasti papildomų paklaidų, susijusių su forma, paviršiaus padėties nustatymu, dėl to gali atsirasti tam tikras paviršiaus svyravimas 2.14 pav. Nepaisant to, skaitinio modeliavimo rezultatų analizė atskleidė akivaizdžių bangavimo dėsningumų, priklausančių nuo sienelės polinkio kampo (2.15 pav.). Pirmasis, sukeltas išorinio poveikio, bangos aukščio maksimumas turi tendenciją didėti indui siaurėjant viršuje. Kadangi kitų maksimumų atsiradimą sąlygoja bangos judėjimas tarp sienelių, yra svarbus sudedamųjų bangos dalių fazinis skirtumas. Reikia prisiminti, kad sudedamųjų skirtingo ilgio harmoninių bangų sklidimo greitis yra skirtingas. Nors priklausomybės antram ir trečiam bangos maksimumams turi minimumą (netoli 900), didžiausia bangos maksimumo vertė 0–1 s intervale taip pat didėja indui siaurėjant viršuje. Tokiu atveju didėja ir su minėtais dėsningumais susijęs bangos formos aštrumas (2.4, 2.5 ir 2.6 pav.). Papildomos kokybinės informacijos galima gauti iš vandens dalelių judėjimo pobūdžio siaurėjančiuose, stačių sienelių ir platėjančiuose induose (2.16 pav.).

 

2.14 pav. Bangos maksimalios ir minimalios amplitudės priklausomybės: a) siaurėjančiuose, b) platėjančiuose induose. Pagreitis a = 1 m/s2

 

2.15 pav. Bangos aukščio priklausomybė nuo sienelių polinkio kampo induose, besiskiriančiuose tik sienelių polinkiu (1.3 a pav.). Pagreitis a = 1 m/s2

 

Akivaizdu, kad skirtingos formos induose laisvo vandens paviršiaus ploto ir vandens tūrio santykis skiriasi. Siaurėjančiame inde dalis vandens masės yra apribota iš viršaus. Tai yra papildomas veiksnys, veikiantis bangavimą. Dėl sienelių polinkio skiriasi vandens dalelių greičių vektorinis pasiskirstymas pradiniu ir kitais laiko momentais. Platėjančiame inde bangos amplitudė prie sienos mažesnė negu siaurėjančiame. Tai gali būti paaiškinta sienelės sąveika su krintančia banga. Jei indas platėjantis, bangoje esantis vanduo pasiskirsto didesniame tūryje, negu tai būtų siaurėjančiame inde.

 

2.16 pav. Vandens judėjimo pobūdis platėjančiame, stačių sienelių ir siaurėjančiame induose. Vandens dalelės greitis proporcingas brūkšnelio dydžiui

 

Mažų amplitudžių teorijos išvados teigia, kad labai seklioje vietoje bangos amplitudė turi išaugti. Remiantis šios teorijos pagrindu gautomis santykinės bangos amplitudės  dviejų charakteringų bangos ilgių (0,2 ir 0,6 m) priklausomybėmis nuo gylio (2.9 pav.), galima teigti, kad bangos amplitudės padidėjimas turėtų būti stebimas, tik kai vandens gylis mažesnis už 1–2 cm. Lyginant gautus skaitinio modeliavimo rezultatus su mažų amplitudžių teorijos išvadomis, taip pat reikia atsižvelgti ir į mažų amplitudžių teorijoje daromą prielaidą apie vandens gylio tolygų kitimą, nes platėjančiuose induose vandens gylis prie sienelės kinta pakankamai staigiai. Kita vertus, dėl nepakankamo skaitmeninio modeliavimo tikslumo, kurį riboja tūrio padalinimo matmenys, amplitudės padidėjimas negalėjo būti stebimas. Taip yra todėl, kad, modeliuojant vandens judėjimą visame inde ir norint tirti bangos amplitudės padidėjimą seklumoje, yra reikalingas smulkesnis tiriamos srities sudalinimas, negu realiai buvo įmanomas.

 

2.17 pav. Bangos aukščio priklausomybė nuo sienelių kreivumo indų, besiskiriančių tik sienelių kreivumu (1.3 b pav.). Pagreitis a = 1 m/s2

 

Papildomai buvo tiriama ir sienelės kreivumo įtaka bangavimui inde. Gauti rezultatai bendrais bruožais atitinka gautuosius kintant sienelės polinkiui. Amplitudės taip pat didėja, jeigu apatinėje indo formos dalyje sienelė vidutiniškai statesnė (nuo platėjančio indo apačioje iki stačių sienelių), kaip ir 2.15 pav. Jeigu indas išgaubtas į išorę (platėja viršuje ir apačioje), indo formos įtaka santykinai nedidelė.

 

 

Summary

 

Kęstutis Mažeika

The main principles of hydrodynamics of liquids with free surface

 

For modelling of movement of liquid with free surface digital solution of Navie Stocks equations is chosen in two-dimensional x, z case.

 

 

p is density of the liquid (water), g – acceleration of free fall. The pressure is found in the inside points of the vessel by the method of upper relaxation, at the walls of the vessel and at the surface of the liquid. It is considered that at the beginning, at time t = 0s, the liquid does not move. The change at the moment t + t is evaluated calculating rate components u and w respectively in the directions x and y. In the equation fluxions are changed by finite differences. The changed position of the surface is found by the method of marks. The essence of the method is definition of the trajectory of water particles. For that purpose cross-section (x, z) of the vessel was divided into 80 x 80 cells. t ≤ min (∆x, ∆z) / Vmax is the conditions for the pace of iteration, where ∆x, ∆z are dimensions of the division, Vmax is the maximum rate of the liquid.

 

Modelling movement of the liquid hydrodynamic characteristics of the vessel were compared. The resting vessel full of water is effected by mechanical effect that causes waves. The effect can be determined by horizontal acceleration and pace of movement of walls of the vessel. A simple form of dependence between movement acceleration and time was chosen. For 0.1 s the acceleration was constant, then the vessel was stopped in 0.1 s with the same acceleration, only of the opposite direction. Later walls of the vessel did not move, but modelling of waves continued. We can consider mechanical effects to real vessels as the sum of effects of different amplitudes.

 

Picture 2 shows maximum deviations (the highest and the lowest position) of the surface of the liquid at the given moment. They were used analyzing hydrodynamic characteristics. Nature of the waves determines constant changes of the surface. Maximum turns of the surface are formed when the wave reaches wall of the vessel (picture 1). Movement of water can be shown by vectors and lines of the current. While modelling the waves, swinging amplitude of the surface can reach maximum in time interval (picture 2). Amplitude of the wave changes as waves are not harmonious. Change of the amplitude can be explained by dependence of the rate of waves on the length of the wave. Eventually swinging of the surface stops because of viscosity of the liquid (water) (coefficient μ). The smaller the amplitude of the affect, the smaller the rate of movement – the greater speed of calculation. In modelled vessels the amplitude of surface swinging depends of the effect (picture 4). Comparing hydrodynamic characteristics acceleration a = ± 1m / s2 was used. Maximum amplitude of the wave depends on the shape of the vessel, on the angle of the turn of walls (picture 5) and on cross-section of the vessel (picture 6). At the starting the forming waves are higher in widening vessels. This can be explained by , where z0(x) is position of the surface, comparing gravitation and effecting forces. The turn of the surface in equilibrium should be the same in the whole cross-section. But the wave is not in equilibrium, it is formed near walls. The height of the modelled wave is not proportional to the cross-section as it might seem from the condition of the deviation of steady surface. This condition is derived without considering movement and inertia of the liquid. Interaction with the walls and inertia of the liquid determine that the amplitude of the forming wave  is the smallest in  a widening vessel (picture 5). The liquid at the walls moves in parallel with them (picture 3). The liquid in a widening vessel spreads in a bigger volume. The amplitude of the wave is bigger in a narrowing vessel. Thus when there is no balance of the effecting forces, waves are influenced by geometrical factor of interaction between the liquid and the walls and inertia of the liquid itself. Time of the effect also influences wave formation and movement. Speaking about several effects the result depends  not only on the intensity, but also on synchronicity of the effects. When the wave moves from one wall to the other, its amplitude changes, grows. There is a certain position of the angles when the amplitude is the smallest (picture 5).  A wave of complex shape can be divided into the sum of harmonious waves moving at different rate. The sum will change in different time. The amplitude of the forth maximum grows (from 0.9 cm to 1.6 cm) when the angle of the turn of the wall changes (picture 5). If we take all four maximums, the change of the maximum amplitude is smaller (from 1.25 cm to 1.6 cm). The condition of the turn of steady surface should give an opposite result. In case the vessel is wider at the top, the balanced turn should be bigger. But some time is needed in order to reach equilibrium. The condition of the turn of steady surface  shows that the amplitude of the wave should be proportional to the acceleration of movement of the vessel a and cross-section of the vessel L (picture 6). Modelling results show that when the cross-section is smaller than 15–20 cm, the amplitude is a little bigger than it would follow from the mentioned condition. When the cross-section is bigger than 20 cm, the amplitude is smaller. In the first case it can be explained  by inertia of the liquid, in the second case it can be explained by too short time of the effect. The mentioned condition defines position of the surface where forces effecting the wave and gravitation change their direction. That is why evaluating practical hydrodynamic characteristics of vessels intensity and duration of the effects in certain cases are very important. If the effects are short and not intensive, characteristics of widening vessels are quite good. If the effects are intensive and long, narrowing vessels are superior.

Some vessels are used for pouring out. The shape of the neck was evaluated while modelling movement of the liquid (picture 7). Lines of the current show the direction; their density shows the rate. A more detailed picture shows conditions necessary for steady current (picture 8). The optimal shape of the neck is shown in picture 7. In case it is cambered to the outside, the current can become not steady, turbulent (picture 8a). The steadiest current is when the shape of the neck is as shown in picture 8c.