Lietuvos istorijos institutas. Miestų praeitis, 3

 

Marius Adomaitis

Lietuvos istorijos institutas

 

Buitinės keramikos rekonstrukcijos – matematinis tūrio skaičiavimas

 

Norėdami apčiuopti tokias realias fizines archeologinio  radinio savybes, kaip aukštis, ilgis, plotis, tūris, dažnai susiduriame su kliūtimis. Archeologinis  radinys dažniausia būna smarkiai apgadintas arba per daug trapus, kad galėtume tai padaryti praktiškai, todėl esame priversti pasitelkti šiuolaikines technologijas, kurių pagalba rekonstruojame konkretų mus dominantį objektą. Naudodami rekonstruotą modelį galime rasti visus mus dominančius objekto parametrus ir savybes.
Šiuo atveju plačiau aptarsime buitinės keramikos (indų) rekonstravimą ir reikiamų parametrų apskaičiavimą.  Rekonstrukcijos procesas vykdomas keliais etapais:

 

  1. Objekto skaitmeninimas.
  2. Fragmento ar objekto dvimačio vektorinio modelio kūrimas.
  3. Trimačio pirminio objekto modelis, rekonstrukcija, pirminio trimačio modelio tikslinimas ir koregavimas, galutinis modelis.


Pirmasis etapas – objekto skaitmeninimas


Šio etapo metu gaunamas indo ar jo fragmento skaitmeninis atvaizdas, pasitelkiant fotoaparatą. Siekiant išvengti skaitmeninio vaizdo deformacijų ir triukšmų reikėtų prisilaikyti tokių taisyklių: paviršius, ant kurio bus statomas fotografuojamas objektas, turėtų būti visiškai lygus, fonui pasirenkamas baltas matinis paviršius. Apšvietimui naudojama tiesioginė dienos lempos šviesa. Kad nesusidarytų šešėlių ir nebūtų iškreiptas kontūras, tikslingiausia būtų naudoti keletą šviesos šaltinių, nukreiptų tiesiai į objektą skirtingais kampais. Fotoaparatas tvirtinamas ant štatyvo ir statomas didesniu atstumu, objektyvas  statmenas fotografuojamam objektui. Fotografuojant iš arti  objektyvui trukdo per mažas atstumas, todėl atsiranda vadinamasis „kreivo veidrodžio“ efektas – vaizdas iškreipiamas ir suapvalinamas. Nestatmena objektyvo padėtis fotografuojamo objekto atžvilgiu iškraipo fizinius parametrus, t. y. objektai atrodo aukštesni, platesni arba siauresni viršuje ar apačioje priklausomai nuo objektyvo nukreipimo kampo. Tokiais atvejais atsiradusios paklaidos iškreipia ir galutinį rekonstruotą modelį, tad gauti duomenys bus netikslūs ir nenaudingi.
Siekiant sumažinti paklaidų atsiradimo tikimybę, kadre panaudojame mastelinę liniuotę, kuri padės išlaikyti tikslias proporcijas, toliau apdorojant gautus atvaizdus.

 

Fotoaparatas nėra vienintelė priemonė gauti skaitmeninį objekto atvaizdą. Tiksliausias ir patikimiausias – objekto skenavimas lazeriu. Šiuo metodu gaunamas tikslus skaitmeninis trimatis objekto atvaizdas, modelis su tiksliomis koordinatėmis, todėl sumažėja paklaidos atsiradimo tikimybė dėl žmogiškojo faktoriaus, o tuo pačiu preciziškai tikslūs skaičiavimais gauti duomenys.


Dvimačio vektorinio modelio kūrimas


Turėdami tikslų objekto skaitmeninį atvaizdą, pasinaudoję vaizdų apdorojimo programomis, sukuriame dvimatį vektorinį atvaizdą. Kadangi mūsų pasirinktas objektas yra buitinė keramika, tiksliau, indai, tad objektai yra simetriški arba su menkomis asimetrijos zonomis, todėl turėdami vienos pusės, šono fragmentą „veidrodžio“ efektu galime atkurti trūkstamas detales ir pilną indo dvimatį vektorinį vaizdą.

 

Sudarę vektorinį modelį jau galime apskaičiuoti mus dominančius indo parametrus – aukštį, plotį, tūrį ir t.t.

 

Turime indo fragmentą (1 pav.).

 

1 pav.

 

Kurdami indo vektorinį konstruktą, turime atsižvelgti į tai, kokių parametrų ieškosime. Šiuo atveju mus domina indo tūris, tad modelis orientuotas į vidinę indo dalį, atsižvelgiant į sienelės bei dugno storius. Tokiu principu atkuriame vektorinę vidinės sienelės kreivę (2 pav.).

 

2 pav.

 

Gautą kreivę perkeliame į koordinačių sistemą, kur x ašis – indo aukštis, o y – indo spindulys. Šią kreivę toliau įvardijame kaip funkcijos grafiką, kuris atspindi matematinį sąryšį, leidžiantį prognozuoti, kokios y vertės atitiks x ir atvirkščiai. Kadangi mūsų funkcijos grafikas turi konkrečias x ir y reikšmes, galime pasinaudoti regresija ir kreivę išreikšti konkrečia matematine išraiška. Tam mums reikalingi kontroliniai funkcijos grafiko(sienelės kreivės) taškai, kuo daugiau jų naudosime, tuo mažesnės bus mūsų skaičiavimo paklaidos.

 

Šiuo atveju 90 mm aukščio indui pasirinkome 31 kontrolinį tašką grafiko kreivėje (3 pav.):

 

3 pav.

 

x

Y

x

y

x

y

0

51,48

52,94

75,88

77,46

67,26

3,47

53,72

56,61

76,23

79,37

65,87

6,93

55,92

60,04

76,14

80,11

65,54

12,73

59,52

61,22

76,11

80,84

65,21

18,53

63,07

62,4

76,09

84,55

65,35

23,87

66

64,68

75,6

85,95

65,7

29,22

68,93

66,96

75,11

87,35

66,06

34,57

71,16

69,2

73,81

88,69

66,42

39,93

73,39

71,43

72,51

90

66,79

44,65

74,46

73,53

70,56

 

 

49,37

75,53

75,54

68,66

 

 

  
Tūrio skaičiavimui naudosime ritinio formulę
h. Konkrečiam mūsų grafiko tūriui apskaičiuoti naudojame formulės išraišką  , kadangi indo aukštis 90 mm – mūsų integralas apibrėžiamas intervale nuo 0 iki 90, kur funkcija , tada pilna mūsų indo tūrio formulės išraiška tokia:

 

Atlikę veiksmus gauname, kad indo tūris V = 1329500,783 mm3 = 1329,5 cm3

 

Trimačio modelio kūrimas


Turint dvimatį modelį grafinio modeliavimo programos pagalba surastame simetrijos centre išvedus ašį ir apie ją sukant dvimatį atvaizdą gaunamas tobulai simetriškas pirminis trimatis indo modelis. Šis modelis reikalingas tam, kad toliau jį koreguodami galėtume nustatyti ir izoliuoti indo deformacijos bei asimetrijos zonas.

 

Kitame etape pirminė rekonstrukcija, atsižvelgiant į tikrąjį indą, tikslinama. Galutinis rezultatas – tikslus skaitmeninis indo modelis. Gretindami pirminį, idealiai simetrišką, ir baigtinį, tikruosius parametrus atitinkantį, modelius nustatome ir izoliuojame indo asimetrijos, deformacijos zonas. Nustatytose deformacijos zonose darome pjūvius, o iš jų vektorines briaunos kreives, kurias dedame į koordinačių sistemą, pasirenkame kontrolinius grafiko taškus, randame jų reikšmes, išvedame funkcijos išraišką, lygiai taip pat, kaip ir dvimačio vektorinio modelio atveju. Skirtumai atsiranda tik paskutiniame skaičiavimo etape, t. y. skaičiuojant tūrį, dvimačio vektorinio modelio atveju skaičiavome pilną simetriško indo modelio tūrį. Šiuo atveju skaičiuosime atskirų indo zonų tūrį.

 

Iš trimačio modelio nustatome deformacijos zonos užimamą diapazoną (5 pav.)

ir savo tūrio formulę modifikuojame taip:

Taigi visas indo tūris bus lygus visų indo zonų tūrių sumai –


kur
 – tūrio zonų skaičius.

 

4 pav.

 

5 pav. matoma violetine spalva pažymėta aiški indo deformacijos zona ir jos užimamas diapazonas

 

Panagrinėkime konkretų indą (6 pav.) Iš pirminio ir koreguoto trimačių modelių sintezės matome, kad deformacijos zona yra kairėje indo pusėje, kur tvirtinama ąsa. Rekonstruojame briaunų kreives, grafikus (7 pav., 8 pav.),pasirenkame kontrolinius taškus (9 pav., 10 pav.), randame funkcijų išraiškas.   

 

5 pav.

 

7 pav.

 

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0

49.35

78.25

76.77

126.23

86.77

161

82.32

183.19

64.9

4.97

50.67

83.48

78.24

131.51

87.49

163.04

80.86

184.79

64.79

11.56

53.18

89.9

79.93

135.26

87.73

164.48

79.44

188.11

65.03

21.84

57.51

96.32

81.62

139.58

87.83

168.02

76.55

192.62

65.84

31.81

61.05

99.58

82.44

144.16

87.54

169.83

73.32

195

66.36

41.28

64.74

102.84

83.26

147.46

87.27

172.63

70.08

 

 

51.27

68.25

106.13

84.03

150.74

86.8

174.6

67.98

 

 

61.26

71.76

110.83

84.84

152.91

86.16

176.67

66.2

 

 

67.14

73.53

115.72

85.49

155.31

85.22

177.94

65.54

 

 

73.02

75.3

119.86

85.9

157.89

83.89

180.45

64.99

 

 

9 pav.

Tada 7 pavyzdyje pavaizduoto grafiko funkcija   ir tūris -  Apskaičiavę gauname, kad  = 2477.592 cm3

 

8 pav.

 

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

0

42.4

25.33

53.44

78.03

72.67

131.7

86.25

181.04

64.82

3.65

43.81

28.63

54.71

83.62

74.27

137.2

86.8

187.7

64.35

5.29

44.52

31.91

56

89.48

75.94

141.27

86.83

190.13

64.71

7.58

45.6

36.09

57.65

95.31

77.7

147.21

86.13

192.67

65.66

9.85

46.69

40.26

59.31

100.86

79.44

154.08

84.4

195

67.1

11.7

47.55

44.59

61.05

105.24

80.82

162.35

80.01

 

 

15.48

49.28

48.94

62.77

110.03

82.19

167.89

75.55

 

 

20.61

51.56

60.15

66.93

114.87

83.16

172.78

69.27

 

 

21.96

52.11

66.29

69.01

121.24

84.37

175.13

66.29

 

 

23.64

52.78

72.47

70.99

126.46

85.38

177.24

64.89

 

 

10 pav.

 

8 pavyzdyje pavaizduoto grafiko lygtis

 , o šios dalies tūrio išraiška

kur   765864,255346mm3 = 765.864 cm3

Bendras indo zonų tūris skaičiuojamas pagal  formulę, kur n = 2. Tada deformuoto indo tūrio formulė tokia:

Taigi apskaičiuotas mūsų indo tūris  . Šiuo atveju turime ir tikrąjį, ne skaičiavimu išmatuotą indo tūrį, kuris yra 3290cm3. Tokiu atveju galime įvertinti matematinių skaičiavimų paklaidą Δ=1,435%. Matome, kad skaičiavimų paklaida lyginant su žinomu indo tūriu yra ganėtinai maža ir nesiekia 2%. Vadinasi, anksčiau išvesta matematine formule indų tūriams apskaičiuoti galima remtis ir tikslinga naudoti tais atvejais, kai turime tik skaitmeninį objekto atvaizdą arba tik objekto fragmentą, kurio tūrio ir kitų parametrų fiziškai išmatuoti nėra galimybių.   

Taigi pagrindinis ir svarbiausias reikalavimas, kuriuo reiktų vadovautis ir prisilaikyti rekonstruojant objektus – preciziškumas ir tikslumas. Menkiausi skaitmeninio atvaizdo iškraipymai ar netikslumai įveda paklaidų ir kompromituoja rezultatus toliau juos apdorojant. Tikslūs atvaizdai leidžia generuoti tikslius modelius, rekonstrukcijas, o iš jų rasti norimus parametrus – deformacijos zonas, tūrius.

Išvesta tūrio skaičiavimo formulė   gali būti taikoma ne tik archeologinių radinių(buitinės keramikos) tūrio skaičiavimui, bet ir šiuolaikinių indų tūrio skaičiavimui, turint tik skaitmeninį daikto vaizdą, kur  indo vidinės briaunos kontūras, pervestas į koordinačių sistemą, o  – vidinės indo dalies aukštis.

 

 

Summary

 

Marius Adomaitis

Reconstructions of pottery – mathematical calculation of size

 

We often are confronted with difficulties when we want to find real physical parameters of the archaeological finding – height, length, width, volume. The archaeological finding is often damaged and fragile, so we are forced to use digital reconstruction.

 

Reconstruction process consists of several stages:

 

1. Digitizing of the object.

2. Creation of a fragment or two-dimensional vectorial model of the object.

3. Model of three-dimensional original object, reconstruction:

a)     correction of the original three-dimensional model,

b)     the final model.

 

We can get digital model of the utensil taking photos and scanning the object with laser rays. The first case is very quick, but not as precise as the second one, quality of the image is also not as good.

 

The second stage – creation of two-dimensional vectorial model. In this case we are interested in the size of pottery. We reconstruct the inside brim of the wall of the utensil. We consider the obtained curve as graph of the function that reflects mathematical relation. This relation allows us to forecast which values of y correspond to x and vice versa. We adjust the system of coordinates and determine control points of the graph. We find expression of the function. In order to calculate the volume we use volume formula , and for the concrete utensil , where r = f(x), dx = h, [a, b]. This is the height of the inside part.

 

At this stage we also find if the utensil is symmetrical. If the utensil is not symmetrical, we move to the third stage – three-dimensional model. We find how many asymmetry and deformation zones and in which places are formed. We isolate deformation zones – generate their brims, graphs, find control points and express functions. Volume of the distorted utensil is  where n is the number of zones. In this case we calculate only the volume of a separate zone, we change the formula of cylinder volume into   where ɑ is diapason of the zone in degrees. Full expression is:

 

Precision of the obtained data depends on the quality of the digital image. Errors appear because of inaccuracy of calculations during digitizing, so the results are not precise and we can not appeal to them.